EMC博导
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摘要： 利用LOVE场等效原理，实现了从近场到远场的变换，有助于时域有限差分法对电磁散射远场问题的解决，并在此基础上开发了建立在MATLAB平台上的时域有限差分法软件系统，以方便对电磁散射远场问题进行研究。利用该系统解决了三个电磁散射实例中的远场问题，并将其计算结果与理论或其它计算方法所得的结果进行了比较，结果吻合较好。
关键词： 远场特性； 时域有限差分法； MATLAB
Study on Far-field Characteristics of Electromagnetic Scattering
Problems with FDTD System Based on MATLAB Plane
DOU Wei-ping， ZHANG Lin-chang
(EMC Research Section, Northern Jiaotong University, Beijing 100044, China)
Abstract: LOVE's Equivalence Theorem is presented to solve far-field characteristics of electromagnetic scattering problems in finite-difference time-domain method. Correspondingly, a finite-difference time-domain method system based on MATLAB plane is developed by the authors. Some examples are studied by the system, and results are compared with ones calculated with other methods for validation.
Key words: Far-field characteristics； Finite-difference time-domain method； MATLAB
1 前言
由于所需计算内存少、能模拟复杂的介质结构等诸多优点，时域有限差分法(FDTD)已经成为研究电磁散射的主要数值方法，但由于计算机存储量的局限性，很难实现将计算的空间扩大到令人满意的远场范围，故如何实现从近场到远场的变换成为求解电磁散射远场的一个焦点。实现从近场到远场的变换一般有两种方案：一是在频域范围内进行变换［1］，二是在时域范围内进行变换［2］。分别利用相应的等效原理，求解任意空间点的远场。鉴于已知被研究电磁散射问题的源的频率，本文采用的是第一种方案，从而可以避免考虑第二种方案中存在的较为复杂的场值收敛问题。近远场变换采用LOVE场等效原理，通过FDTD法计算所得的近区内的电磁场分量，求解远场的分布。
为实现上述思想，我们专门开发了FDTD应用软件系统，并以MATLAB5.0作为开发工具。MATLAB是一种功能强、效率高的便于进行科学和工程计算的交互式软件包。它集丰富的数学函数库和强大的绘图功能于一体，并可在WINDOWS95下直接运行，具有漂亮方便的图形操作界面和多任务运行等优点，因此它在数值计算等领域体现的优势是诸如Fort-ran 5.0、NDP Fortran 、Borland C++等一般高级语言无法比拟的。
2 算法介绍
到目前为止，FDTD法的基本理论已经相当成熟，由于篇幅限制，这里不对FDTD法本身做具体介绍，仅给出作者用计算机编程语言给出的FDTD法中电磁场六个分量的基本迭代公式：
Ex(i,j,k)=Cx(i,j,k){-Dx(i,j,k)Ex(i,j,k)+［Hz(i,j+1,k)-Hz(i,j,k)］／dy
-［Hy(i,j,k+1)-Hy(i,j,k)］／dz}
Ey(i,j,k)=Cy(i,j,k){-Dy(i,j,k)Ey(i,j,k)+［Hx(i,j,k+1)-Hx(i,j,k)］／dz
-［Hz(i+1,j,k)-Hz(i,j,k)］／dx}
Ez(i,j,k)=Cz(i,j,k){-Dz(i,j,k)Ez(i,j,k)+［Hy(i+1,j,k)-Hy(i,j,k)］／dx
-［Hx(i,j+1,k)-Hx(i,j,k)］／dy}
Hx(i,j,k)=C′x(i,j,k){-D′x(i,j,k)Hx(i,j,k)-［Ez(i,j,k)-Ez(i,j-1,k)］／dy
+［Ey(i,j,k)-Ey(i,j,k-1)］／dz}
Hy(i,j,k)=C′y(i,j,k){-D′y(i,j,k)Hy(i,j,k)-［Ex(i,j,k)-Ex(i,j,k-1)］／dz
+［Ez(i,j,k)-Ez(i-1,j,k)］／dx}
Hz(i,j,k)=C′z(i,j,k){-D′z(i,j,k)Hz(i,j,k)-［Ey(i,j,k)-Ey(i-1,j,k)］／dx
+［Ex(i,j,k)-Ex(i,j-1,k)］／dy}
(1)
式中系数Cx,Cy,Cz,Dx,Dy,Dz,C′x,C′y,C′z,D′x,D′y,D′z均是介质电磁参数的函数［3］。
值得注意的是：本文介绍的FDTD软件系统在编程的过程中，电场的迭代公式放置在磁场的迭代公式之前。
近场到远场的变换，本文采用的是LOVE场等效原理(图1)［4］。对于图1(a)中的问题(只有空间V1内有源)，LOVE场等效原理认为：在面S上外加一定的面电流Js和面磁流Ms，从而使V1无源无场的情况下，确保V2维持原来的电磁场不变(图1(b))，S1是FDTD计算空间的吸收边界，J、M分别是V1中的电流源和磁流源，E、H分别是空间V2中的电场和磁场，P是远场空间内的任意一点。
图1 LOVE场等效原理示意图
Fig.1 Schematic diagram of LOVE's equivalence theorem
面S上的面电流Js和面磁流Ms可以分别通过该面上的切向磁场和切向电场求出：
(2)
(3)
式中是面S上的单位法向矢量。
本方法采用的是在频域范围内实现从近场到远场的变换，故需对式(2)(3)分别做傅立叶变换：
(4)
(5)
式中f是频率，T是周期，dt是一个时间步的时间间隔(简称为时间步长)。
从式(4)(5)中看，Js、Ms的傅立叶变换可以分别由FDTD法随时间步计算出来的E、H各分量通过一定的迭加求和来实现，即待计算空间内的电磁场基本稳定后(一般时间步数不小于三个周期)，在FDTD法程序中增添式(4)和式(5)，继续计算一个周期的时间步数，通过两式中的迭代算法求出频域范围内的Js(f)和Ms(f)。
本文中考虑的FDTD计算空间均为长方体，与之对应，面S取的是略小于计算空间的一个长方体的外表面，且该长方体将所有的源包括在内。以法线方向指向Z轴正向的面XY为例，式(4)(5)可以进一步写成：
(6)
(7)
将提供计算机计算所用的编程公式(1)与直接由Maxwell方程得到的有限差分公式［3］进行比较，将会发现，FDTD软件在每一个时间步计算完毕后，计算所得H各分量的相位比实际理论计算中的H各分量分别多出半个时间步长，因此为了减少该相位带来的误差，对式(4)做以下修正：
(8)
待一个周期的时间步数计算完毕之后，通过上述计算法处理后的FDTD算法程序已经顺利求出了面电流Js(f)和面磁流Ms(f)，此时便可以利用Js(f)和Ms(f)求空间场的分布，Js(f)和Ms(f)在空间任意点P处产生的磁场和电场分别为：
(9)
(10)
式中R=r-r′，r和r′分别是点P和面电流JS或面磁流Ms在空间中的坐标，k是波数。
对于点P，令r″表示面S上积分原点在空间中的坐标，因为｜r′-r″｜>>｜r-r′｜和｜r′-r″｜>>｜r-r″｜，故式(9)(10)简化为：
(11)
(12)
式中R′=r-r″。
3 系统简介
本部分简要介绍为实现上述算法思想而开发的数值计算工具—FDTD软件系统，它具有可移植性好、图形界面好、编译效率高等特点，可以实现导体层和导体盒结构、介质层和超薄介质层结构以及细线结构等模块的计算功能，用户可以根据不同的需要取舍模块。系统流程图如图2所示。
图2 FDTD软件系统流程图
Fig.2 Flow diagram of FDTD software system
图2中，计算空间初始化包括计算空间范围及最小网格尺寸的设置，网格划分采用Yee方式，系统提供自动划分功能。各模块参数设置包括各模块位置的设置以及所涉及到的各种参量的设置和选择。当空间电磁场稳定后，如果不选择近远场变换，系统将仅给出近场的场值，反之，系统将在提供近场值的同时，也提供远场的场值。
4 应用实例
4.1 电耦极子远场的计算
为验证算法的正确性，首先利用开发出来的FDTD软件系统计算电耦极子的远场。计算空间建立在直角坐标系下，范围为［X,Y,Z］=［(1,35),(1,35),(1,35)］，空间步长dX=dY=dZ=0.01m，时间步长dt=0.5dX／C,C为自由空间中的光速。源信号为正弦波，频率为1GHz，幅度为15V／m，位于空间中心［X,Y,Z］=［18,18,18］处，沿Z轴方向。经过约三个周期多的时间步数计算后，计算空间内场值基本达到稳定。取面S为立方体［X,Y,Z］=［(6，30),(6,30),(6,30)］的外表面，再计算一个周期的时间步数，根据文中介绍的近远场变换算法，并可得到远场空间任意一点的场强。
图3(a)是计算得到的在三维极坐标下电耦极子的远场方向性图。图3(b)中虚线表示的是横截面过图3(a)中原点的XZ剖面图，对应于图3(a)中的坐标轴方位标志在右下脚。实线表示的是电耦极子远场方向性的理论值。由图中可见，计算值与理论值相当吻合。
图3 电耦极子的远场方向性图
Fig.3 Normalized far-field pattern of electrical dipole
4.2 TE波垂直照射下导体面上缝隙的远场计算
目前研究导电平面上缝隙的电磁特性，一般采用等效磁流子法［5］。本文运用了FDTD软件系统，成功地计算了在TE波垂直照射下理想导体板上缝隙的远场特性。
如图4所示， 厚度d为1.2mm， 边长为0.45m的导体板中部有一缝隙。 缝隙的长度L为0.06m， 宽度W为 0.6mm，长边沿X轴方向，宽边沿Y轴方向，导体板厚度d沿Z轴方向，以散射区一侧缝隙面的中心处作为坐标轴的原点位置。
图4 理想导体板上缝隙的示意图
Fig.4 Slot on perfectly conducting plane
TE波的入射方向与Z轴平行，频率为10GHz。
取FDTD计算空间范围为［X,Y,Z］=［(1,180),(1,180),(1,180)］;空间步长dX=3mm,dY=dZ=0.6mm;时间步长dt=0.5dZ／C;激励源设置在面Z=10上，为单位幅度正弦信号；面S为［X,Y,Z］=［(6,175),(6,175),(6,175)］的外表面。图5(a)是缝隙远场的三维方向性图，图5(b)中实线表示的是图5(a)中面ψ=0上的二维剖面图，用极坐标显示。图5(b)中虚线表示的是用等效磁流子法计算出来的结果。比较图5(b)中的两种结果，非常接近。
图5 缝隙远场的方向性图
Fig.5 Normalized far-field pattern of the slot
4.3 手持机的远场计算
求解几何形状复杂的物体的电磁散射以及其它难以用通常解析方法处理的电磁场问题是FDTD法的特长，本系统在求解远场问题时也充分地体现了这一点。如图6所示，手持机的模型是由一个细导线结构和一个导体盒组成，要对它的辐射性能进行分析，从解析的角度出发根本无从着手。如果用本系统进行求解，将手持机分解为细线结构和导体盒结构两个模块，在细经基部处进行点馈，问题便迎刃而解了。
图6 手持机模型示意图
Fig.6 Model of a hand-held transceiver
图6中手持机的各参数分别为：导体盒的长度a=3cm,厚度c=1cm,宽度b=2cm,细导线的长度h=1.25cm，天线在导体盒顶部的位置偏差w=0.4cm,s=1.2cm,使用频率是6GHz。取FDTD计算空间范围为［X,Y,Z］=［(1,40), (1,40), (1,100)］； 空间步长dX=dY=dZ=2.5mm；时间步长dt=0.5dZ／C；馈点位于［X,Y,Z］=［20,20,50］处；面S为［X,Y,Z］=［(6,35),(6,35),(6,95)］的外表面。从而很容易计算出手持机的远场方向性图(图7)。
图7 手持机远场方向性图
Fig.7 Normalized far-field pattern of the transceiver
5 结论
本文介绍的将LOVE场等效原理与FDTD法理论结合起来而开发的FDTD软件系统，致力于解决电磁散射中的远场问题。文中对用本系统计算的结果和理论或其它计算方法所得的结果进行比较，可以看出，该系统处理电磁散射远场问题是有效的，尤其是对复杂形体的电磁散射问题的处理具有较高的实用价值。
基层项目： 国家自然科学基金资助项目(69571001)
作者简介： 窦维苹 女，在读博士生。1994年7月毕业于北方交通大学通控系，获工学学士学位。在硕士生期间被推荐提前攻读博士学位。研究兴趣为电磁兼容、无线通信、电磁散射和电磁场数值方法等。
张林昌 男，教授，博士生导师。IEEE高级会员，中国电子学会会士，中国电机工程学会、中国电工技术学会高级会员。1953年毕业于北方交通大学，任教至今。任1992年及1997年北京国际电磁兼容学术会议程序委员会主席。主要研究领域：电磁兼容测量，电磁噪声的统计参数等。现任中国电工技术学会副理事长，北京市政府专业顾问，全国无线电干扰标准化技术委员会委员，国际无线电干扰特别委员会(CISPR)C分会第二工作组成员等。 |
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发表于 2007-5-21 16:21:02
